销售计划的线性规划模型  □司马锡生　　    在市场经济条件下，化肥销售具有明显的季节性。其价格也随着需求的变化而变化：旺季趋涨，淡季趋跌。然而，化肥生产却是一个连续生产系统。长周期、满负荷、安全、稳定、均衡地生产是化肥生产系统固有的运行规律。因此，它不能随市场行情的变化而频繁地调整生产负荷；也不能把淡季生产的化肥都储存起来，等到旺季再销售，如果那样，仓库容积之大、储存费用之高、资金周转之慢，都将使企业无法正常运转；但也不能只要能卖出去就随意地生产，从而失去在销售旺季获取最大利益的机会。    由以上分析可知，必然存在一个最优的销售计划。为此，我们在以下假设条件下建立数学模型。    １．每月的计划产量是确定的。用ｘｉ（ｉ＝１，２，…，１２）表示第ｉ月份的计划产量。    ２．当月生产的化肥可在一年内任意的一个月份销售。用ｘｉｊ表示第ｉ月份生产的化肥在第ｊ月份销售的数量。当ｊ≥ｉ时，表示第ｉ月份生产的化肥在当年的第ｊ月　表　产销计划表ｊｉ１２…１２计划产量１ｘ１，１ｘ１，２…ｘ１，１２ｘ１２ｘ２，１ｘ２，２…ｘ１，１２ｘ２…………    ……１２ｘ１２，１ｘ１２，２…ｘ１２，１２ｘ１２份销售；当ｊ≤ｉ时，表示第ｉ月份生产的化肥在下一年度的第ｊ月份销售。产销计划见表１。    在表１中，ｊ列表示计划在第ｊ月份销售的化肥数量，设其总量不受市场容量的限制。    ｉ行表示第ｉ月份生产的化肥在各月的销售安排，应满足：１２ｊ＝１ｘｉｊ＝ｘｉ　ｉ＝１，２，…，１２    ３．每月化肥市场的价格是可以通过预测获得的。用Ｃｉ（ｉ＝１，２，…，１２）表示第ｉ月份化肥的市场价格。    ４．当月生产的化肥在当月销售，不发生储存费用。当月生产的化肥不在当月销售，则发生储存费用，它包括：仓库的修理、折旧费用；仓库保管人员的工资；化肥所占资金的利息；化肥保管期合理的损耗及其它保管费用。显然，储存的化肥越多，储存的时间越长，储存费用就越高。我们用αｃｉ（ｊ－ｉ）ｘｉｊ来表示第ｉ月份生产的化肥在第ｊ月销售的储存费用。式中，α为单位化肥每月的储存费用与其价格的比率，称为储存费用率。    ５．全年生产化肥的费用和其它费用为定值以Ｃ表示之。    根据上述，以年内生产的化肥的净收入（Ｚ）为目标，其目标函数为：　ｍａｘＺ＝１２ｊ＝１Ｃｊ１２ｉ＝１ｘｉｊ－１２ｉ＝１１２ｊ＝１αＣｉ（ｊ－ｉ）ｘｉｊ－Ｃ＝１２ｉ＝１１２ｊ＝１［Ｃｊ－αＣｉ（ｊ－ｉ）］ｘｉｊ－Ｃ令　　Ｃｉｊ＝Ｃｊ－αＣｉ（ｊ－ｉ）　ｉ，ｊ＝１，２，…，１２则目标函数可写成：ｍａｘＺ＝１２ｉ＝１１２ｊ＝１Ｃｉｊｘｉｊ－ＣＣｉｊ可视为第ｉ月份生产的化肥在第ｊ月份销售时的（不计生产及其它费用）“单位净收入”。其约束条件为：１２ｊ＝１ｘｉｊ＝ｘｉ　ｉ＝１，２，…，１２显然，这是一个比运输问题还要特殊的线性规划模型，因其约束方程的系数矩阵为：ｘ１，１ｘ１，２…ｘ１，１２ｘ２，１ｘ２，２…ｘ２，１２…ｘ１２，１ｘ１２，２…ｘ１２，１２１　１　…１　　　　　　１　１　…　１１　　１　…　１每列只有一个元素为１，其余皆为０。    因此，要使净收入Ｚ最大，只要１２ｉ＝１１２ｊ＝１Ｃｉｊｘｉｊ最大。要使１２ｉ＝１１２ｊ＝１Ｃｉｊｘｉｊ最大，只要１２ｊ＝１Ｃｉｊｘｉｊ最大，１２ｊ＝１Ｃｉｊｘｉｊ为第ｉ月份生产的化肥的（不计生产及其它费用）“净收入”。要使１２ｊ＝１Ｃｉｊｘｉｊ最大，只要在Ｃｉｊ最大时，使ｘｉｊ＝ｘｉ，即在第ｉ月份所生产的化肥全部在第ｊ月份（该月的“单位净收入”最大）销售。这一点可由检验数全部不大于０得到证明。    令　Ｃｉ＝ｍａｊｘＣｉｊ　ｉ＝１，２，…，１２令ｘｉ为对应于Ｃｉ的ｘｉｊ。取Ｃｉ（ｉ＝１，２，…，１２）为基变量，得表２所示单纯形表。    表　单纯形表Ｃｉｊｃ１，１Ｃ１，２…ｃ１，１２Ｃ２，１ｃ２，２…Ｃ２，１２…Ｃ１２，１Ｃ１２，２…Ｃ１２，１２ＣＢｘＢｂｘ１，１ｘ１，２…ｘ１，１２ｘ２，１ｘ２，２…ｘ２，１２…ｘ１２，１ｘ１２，２…ｘ１２．１２Ｃ１ｘ１ｘ１１　１　…　１Ｃ２Ｃ１２ｘ２ｘ１２ｘ２ｘ１２　　　　　　　１　１…１１　１　…　１检验数σｉｊσ１，１σ１，２…σ１，１２σ２，１σ２，２…σ２，１２…σ１２，１σ２，２…σ１２，１２可知：　σｉｊ＝Ｃｉｊ－Ｃｉ≤０　ｉ＝１，２，…，１２举例：设１～１２月份化肥的价格依次为３０